「题解」小a和小uim之大逃离

小a和uim来到雨林中探险。突然一阵北风吹来，一片乌云从北部天边急涌过来，还伴着一道道闪电，一阵阵雷声……

一 题目

原题链接

描述

小a和uim来到雨林中探险。突然一阵北风吹来，一片乌云从北部天边急涌过来，还伴着一道道闪电，一阵阵雷声。刹那间，狂风大作，乌云布满了天空，紧接着豆大的雨点从天空中打落下来，只见前方出现了一个披头散发、青面獠牙的怪物，低沉着声音说：“呵呵，既然你们来到这，只能活下来一个！”。小a和他的小伙伴都惊呆了！

瞬间，地面上出现了一个n*m的巨幅矩阵，矩阵的每个格子上有一坨0~k不等量的魔液。怪物各给了小a和uim一个魔瓶，说道，你们可以从矩阵的任一个格子开始，每次向右或向下走一步，从任一个格子结束。开始时小a用魔瓶吸收地面上的魔液，下一步由uim吸收，如此交替下去，并且要求最后一步必须由uim吸收。魔瓶只有k的容量，也就是说，如果装了k+1那么魔瓶会被清空成零，如果装了k+2就只剩下1，依次类推。怪物还说道，最后谁的魔瓶装的魔液多，谁就能活下来。小a和uim感情深厚，情同手足，怎能忍心让小伙伴离自己而去呢？沉默片刻，小a灵机一动，如果他俩的魔瓶中魔液一样多，不就都能活下来了吗？小a和他的小伙伴都笑呆了！

现在他想知道他们都能活下来有多少种方法。

输入

第一行，三个空格隔开的整数n，m，k
接下来n行，m列，表示矩阵每一个的魔液量。同一行的数字用空格隔开。

输出

一个整数，表示方法数。由于可能很大，输出对1 000 000 007取余后的结果。

对于20%的数据，n,m<=10,k<=2
对于50%的数据，n,m<=100,k<=5
对于100%的数据，n,m<=800,1<=k<=15

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二 题解

题外话：这是蒟蒻的第三百道题，同时是本站的第二十篇文章。

50分算法还是很好想出来的。
设$f_{i,j,p,q,0/1}$表示当前以格子$(i,j)$为终点，小a收集了$p$体积的魔液，小uim收集了$q$体积的魔液，且上一步是小a（$0$）还是小uim（$1$）走 的时候，所得到的方案数。
边界条件是枚举起点（小a走出第一步的点），且方案为$1$。

可惜内存会炸掉。

我们发现转移状态只需要用到$p,q$的差值，所以记录$p,q$的值是很不划算的。
设$v=p-q$，可以得到一个更优秀的状态设计：
设$f_{i,j,v,0/1}$表示当前以格子$(i,j)$为终点，小a与小uim收集的魔液的体积之差等于$v$，且上一步是小a（$0$）还是小uim（$1$）走 的时候，所得到的方案数。

但是差值有负数。因为差值的取值范围在$-k \text{~} k$，所以有一个很朴素的想法是把每个差值加上$k$来避免负数。但是这么大的空间还是有炸掉的危险。

其实继续研究就可以发现，根本不需要这么麻烦。因为即使是这个差值也是要模上$k+1$的，所以余数最多有$k+1$种情况。
对于差值为负的情况，我们把它加上一个模数（$k+1$）再模，让余数总为正数。
此时可以形象的理解一下：小uim的魔液比小a多，小a不服气，又拿来一瓶刚好溢出的魔液，把小uim又比下去了。
因为题目的特殊性质，总满足$k+1=0$，所以并不会出问题。

方程：

$$\begin{align} f_{i,j,v,0} = f_{i-1,j,v-s_{i,j},1} + f_{i,j-1,v-s_{i,j},1} \newline f_{i,j,v,1} = f_{i-1,j,v+s_{i,j},0} + f_{i,j-1,v+s_{i,j},0} \end{align}$$

其中$s_{i,j}$是格子$(i,j)$的魔液体积。

还有一个小坑：虽然余数是long long型的，但是转移状态必须用int，统计状态再用long long，不然MLE。并且此时还不能让int自然溢出，还必须模上一个long long型的余数，不然有神仙错误……

附上代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;

#define LL long long

const int CN=8e2+1;

const LL R=1000000007;

int n,m,k;
int sum[CN][CN];

/*
0 : xiao a 
1 : xiao uim
v=a-u
*/ 
int f[CN][CN][16][2]; 

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&sum[i][j]);
            sum[i][j] %= (k+1); //魔液先取一遍模
            f[i][j][sum[i][j]][0]=1; //边界 
        }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int v=0;v<=k;v++) //枚举差值 
            {
                (f[i][j][v][0] += f[i-1][j][(v-sum[i][j]+k+1)%(k+1)][1])%=R; //加上一个模数再取模
                (f[i][j][v][0] += f[i][j-1][(v-sum[i][j]+k+1)%(k+1)][1])%=R;
                
                (f[i][j][v][1] += f[i-1][j][(v+sum[i][j])%(k+1)][0])%=R;
                (f[i][j][v][1] += f[i][j-1][(v+sum[i][j])%(k+1)][0])%=R;
            }
    
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            (ans+=f[i][j][0][1])%=R;
        
    printf("%lld",ans);
    
    return 0;
}