「题解」货币系统

在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]……

一 题解

原题链接

描述

在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 n、面额数组为 a[1..n] 的货币系统记作 (n,a)。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 x，都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]×t[i] 的和为 x。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9] 中，金额 1,3 就无法被表示出来。

两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 (m,b)，满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价，且 m 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。

输入

输入文件的第一行包含一个整数 T，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 T 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 n。接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。

输出

输出文件共有 T 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 (n,a) 等价的货币系统 (m,b) 中，最小的 m。

样例

输入

2 
4 
3 19 10 6 
5 
11 29 13 19 17

输出

2
5

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二 题解

先来分析一下给的样例：有四种面值，分别是$3,19,10,6$， 可以用集合表示成$A={ 3,19,10,6 }$。
然后我们发现其中有些面值可以被其它面值组成，如$6$可以被$3$组成。
我们把这些面值从集合里面删去，得到一个新的集合$A’={ 3,10 }$。
然后我们发现只剩下两个元素，恰好是答案？！

这难道就是数学题的魅力？

于是可以猜想：
若把答案货币系统$B={ m,b }$中的$b$数组看作集合$B$，当$B$中的元素最少时，总有一种方案是$B=A’$（$A’$是集合$A$中不能被集合内其他元素组成的元素组成的的集合）。

简单的证明：若$B$存在一种元素数更少的方案，则$B$中一定有若干元素能组成$A’$中的所有元素。因为$A’$中的元素是不能互相组成的，所以此时$B$中一定存在不在$A’$中的元素，也就是不在$A$中的元素。所以$A \cap B \neq A$，也就是说货币系统$A$不与$B$等价。

之后的问题就是怎么求出$A’$来。
设$f_j$表示凑足$j$元钱最多能用到的钱币数，很明显有转移方程
$$ f_j = \max f_{j-a_i}+1 | a_i \in A$$
其实就是完全背包。跑一边然后找出所有$f$值等于$1$的面值$j$，则$j \in A’$。因为只让求集合大小，所以累加答案就好了。

代码（真是简短）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;

const int CN=2.5e4+4;

const int INF=0x3f3f3f3f;

int read(){ //快读
    int s=0,ne=1; char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') ne=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) s=((s<<1)+(s<<3))+c-'0';
    return s*ne;
}

//v define
int t,n,a[CN],f[CN];

int main()
{
    t=read();
    while(t--){
        memset(f,0,sizeof(f));
        n=read();
        int mx=-INF; //面值最大值，下面跑背包用
        for(int i=1;i<=n;i++){
            a[i]=read();
            mx = max(mx,a[i]);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++) //完全背包
            for(int j=a[i]; j<=mx; j++)
                if(f[j-a[i]] || !(j-a[i])) f[j] = max(f[j], f[j-a[i]]+1); //转移
        int cnt=0;
        for(int j=1;j<=mx;j++)
            if(f[j]==1) cnt++;
        printf("%d\n",cnt);
    }
    return 0;
}