「题解」青蛙的约会

exgcd大水题……

一 题目

原题链接

描述

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L。
其中0<x≠y < =2000000000，0 < m、n < =2000000000，0 < L < =2100000000。

输出

输出碰面所需要的天数，如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible”。

---

二 题解

实际上就是让你解一个同余方程……
设k天之后相遇，那么就有x+km≡y+kn(mod L)，然后展开就是x+km=y+kn+qL，整理得到k(m-n)-qL=y-x，这不就是个exgcd么……处理一下负数问题就好了。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;

#define LL long long

LL x,y,m,n,L;

LL gcd(LL a,LL b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
void _exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(!b){
        x = 1,y = 0;
        return;
    }
    _exgcd(b,a%b,x,y);
    LL t = x; x = y; y = t-(a/b)*y;
}
bool exgcd(LL a,LL b,LL c,LL &x,LL &kx){ //通解 x + p*kx (p ∈ Z)
    LL g = gcd(a,b);
    if(c % g) return false;
    LL y;
    _exgcd(a,b,x,y);
    x *= c/g; kx = b/g; 
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L);
    LL ans,kx; bool flag = true;
    if(m-n < 0){
        if(!exgcd(n-m,L,y-x,ans,kx)) flag = false;
            else{
                ans = -ans;
                ans %= kx;
                if(ans < 0) ans += kx; //搞成最小正数解
                flag = true;
            }
    }
    else{
        if(!exgcd(m-n,L,y-x,ans,kx)) flag = false;
            else{
                ans %= kx;
                if(ans < 0) ans += kx; //搞成最小正数解
                flag = true;
            }
    }
    
    if(flag) printf("%lld",ans);
        else printf("Impossible");
    
    return 0;
}